Dimensionsabschätzung von Attraktoren mit Hilfe von Feedback-System-Methoden und Ljapunow-Funktionen

a) Dimensions- und Entropieabschätzungen für invariante Mengen dynamischer Systeme auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Im Mittelpunkt sollen dimensionsartige Eigenschaften invarianter Mengen von Flüssen und Abbildungen auf allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten stehen. In der Sprache der Singulärwerte des Differentials einer Abbildung bzw. der Eigenwerte des symmetrischen Teils der kovarianten Ableitung des Vektorfeldes sollen Schranken für Hausdorff- und kapazitive Dimension sowie der topologischen Entropie angegeben werden. Da die Singulärwerte vom Metriktensor abhängen, wird der Generierung solcher Metriken unter Verwendung von Ljapunow-Funktionen für hydrodynamische Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungen mit zylindrischem Phasenraum große Bedeutung beigemessen. Besonders effektiv geschieht dies für Systeme der automatischen Steuerung. Dimensions- und Entropieschrankenwerte sind insbesondere dafür geeignet, um Rückschlüsse auf die globale Dynamik zu ziehen. So sollen unter Einbeziehung geometrischer Eigenschaften der Mannigfaltigkeit (Homologiegruppe, Schnittkrümmung usw.) weitere Aussagen über die Anzahl periodischer Orbits, über die Stabilität bzw. Instabilität beliebiger Orbits, über globale Konvergenz und andere Eigenschaften abgeleitet werden. Während die Singulärwerte einer Tangentialabbildung das lokale zeitabhängige Kontraktions- und Streckungsverhalten charakterisieren, beschreiben verschiedene Varianten von Ljapunow-Exponenten (eines invarianten Maßes, lokale obere, globale obere usw.) den asymptotischen Zustand der lokalen Deformationen. Es wird deshalb angestrebt, dimensionsartige Aussagen auch in der Sprache solcher Exponenten zu formulieren. Neben Überdeckungsstrategien mit Kugeln und Ellipsoiden und Verwendung der damit verbundenen äußeren Hausdorff- bzw. kapazitiven Maße, sollen auch Überdeckungen der invarianten Menge vom allgemeinen Caratheodory-Typ verwendet werden. Besondere Bedeutung kommt der Einführung von Normalkoordinaten und den damit verbundenen transversalen Schnitten zu.

b) Dimensionsabschätzung invarianter Mengen von nicht injektiven Abbildungen und mit schwach-hyperbolischer Struktur

Verbesserung bisher bekannter Dimensionsschranken für invariante Mengen von bestimmten Klassen von Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten unter stärkerer Nutzung spezieller Eigenschaften der Abbildungsklasse. Dabei soll einerseits eine äquivariante Zerlegung des Tangentialbündels betrachtet werden, die eine Verallgemeinerung des Konzepts der hyperbolischen Mengen darstellt. Andererseits soll die Vielfachheitsfunktion der Abbildung, die die Anzahl der Urbilder im jeweiligen Punkt beschreibt, in die Formeln zur Abschätzung der Hausdorff-Dimension nach Douady und Oesterle einbezogen werden. Dadurch können anstelle der bisherigen globalen Bedingungen nach Douady und Oesterle für nicht injektive Abbildungen lokale Bedingungen an die Singulärwertfunktion der Tangentialabbildung formuliert werden. Analog kann in Oberschranken für die kapazitive Dimension nach Temam und Chen die Vielfachheitsfunktion einer Abbildung mit einbezogen werden. Besondere Beachtung sollen solche Systeme finden, die in Anwendungen eine große Rolle spielen (z. B. Chua-Generatoren oder Belykh-Abbildungen). Auf der Grundlage der für Abbildungen erzielten Ergebnisse sollen Aussagen über die Hausdorff-Dimension fraktaler Basismengen, die bei globalen homoklinen Bifurkationen von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten auftreten, gewonnen werden.

c) Nichtlokale Integralmannigfaltigkeiten und nichtlineare Mehrpunkt-Randwertprobleme

Integralmannigfaltigkeiten sind die Verallgemeinerung von stationären Punkten bei nichtlinearen Differentialgleichungen. Es sollen nichtlokale Integralmannigfaltigkeiten untersucht werden, die das asymptotische Verhalten der Lösungen von Differentialgleichungen beschreiben (Versklavungsprinzip). Die entwickelten Verfahren sollen unter anderem die Abschätzung der Güte von (z. B. numerisch ermittelten) approximierenden Mannigfaltigkeiten erlauben. Inertiale Mannigfaltigkeiten sind endlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die die Reduktion unendlich-dimensionaler oder hochdimensionaler Differentialgleichungen auf niedrigdimensionale Differentialgleichungen erlauben. Invariante Mengen wie zum Beispiel Attraktoren liegen dann auf einer inertialen Mannigfaltigkeit. Ziel soll es sein, a-priori Abschätzungen für die Dimension solcher Attraktoren zu erhalten. Die Berechnung inertialer Mannigfaltigkeiten wird in enger Verbindung mit der Lösung von speziellen Zwei-Punkt-Randwertproblemen vom verallgemeinerten Nicolleti-Typ und mit numerischen Verfahren wie dem Galerkin-Verfahren für nichtlineare Probleme betrachtet. Generell geht es dabei um die Konstruktion von nichtlokalen Integralmannigfaltigkeiten mit Eigenschaften wie "overflowing invariant" oder "inflowing invariant" für große Systeme mit schwacher Kopplung als Grenzmannigfaltigkeiten von zeitabhängigen invarianten Mannigfaltigkeiten.