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  Book reviews


Reguläre und chaotische Dynamik

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
Leipzig: B.G.Teubner, 252 S, 1996.


   This is one of the very few mathematically rigorous books in German on the topic. The first half of the book is an exhaustive introduction to regular dynamical systems. After a brief introduction to bifurcations in Morse-Smale systems, chaotic dynamical systems are discussed in the second half. The book is very useful as a compendium for researchers in this field or as a textbook for an advanced course for students of applied mathematics or of physics.

K.Brod (Wiesbaden)

Keywords: nonlinear motions; regular dynamical systems; bifurcations; Morse-Smale systems; chaotic dynamical systems
Classification:
*58Fxx Ordinary differential equations on manifolds; dynamical systems
58-01 Textbooks (global analysis)
58F09 Morse-Smale systems
34C35 Dynamical systems
70K99 Nonlinear motions
aus:    MATH Database, Zentralblatt für Mathematik / Mathematics Abstracts:
           Copyright (c) 1997 European Mathematical Society, FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag.



   This book is a combination of several lectures on different aspects of the theory of dynamical systems that the author offers regularly to, students of mathematics, science and engineering sciences at the university of Dresden. It contains three main chapters: one on dynamical systems, one on bifurcation in Morse-Smale systems and one on chaotic dynamical systems, which indeed is nothing other than ergodic theory for such systems, supplemented by a short appendix where the basic notions of measure theory in metric spaces, the Jordan normal form for matrices, associated matrices and their outer product are introduced. Obviously, this book is not written for students who will really learn the theory of dynamical systems in order to work later in this field.. It especially addresses people outside the mathematical sciences who just want to get acquainted with the basic notions and fundamental results. Hardly any proofs can be found in this book; theorems are generally only stated and then discussed for simple examples. Presumably, this is exactly what practitioners in the applied and engineering sciences expect from a book in mathematics. For mathematicans and science students this certainly does not provide enough information for understanding the theory of dynamical systems and being able to work themselves in this field of research. For this, the content is too elementary and the frontiers of the present-day research are hardly ever reached. For this kind of preperation there are much better books available, like the rather complete work by A . B. Katok and B. Hasselblatt [Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge Univ. Press, 1995; MR 96c:58055] or many books on special subjects within the theory of such dynamical systems.
  On the other hand, the real merit of the book is that it can be used as a kind of handbook for precise definitions and lots of examples which one can always use for lectures and seminars in dynamical system theory. Unfortunately, the book is written in German and hence its accessibility is certainly rather limited  outside the German-speaking community.
  The content of the book is a collection of all the standart notions and fundamental results with examples of the geometric theory of dynamical systems, a short chapter on local and global bifurcation theory with the standart bifurcation scenarios and finally an introduction to elementary ergodic theory and a discussion of different routes to chaotic behaviour in dynamical systems.

Dieter H. Mayer (Clausthal-Zellerfeld)

aus:    Mathematical Reviews, Ann Arbor, 1998d



Das Buch ist aus Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Elektrotechniker entstanden und hat sich zum Ziel gesetzt, dynamische Systeme von den Grundlagen bis hin zu wichtigen modernen Entwicklungen zu behandeln. Es ist in drei Teile gegliedert: Das erste und längste Kapitel "Dynamische Systeme" führt allgemeine Konzepte, wie Flüsse, iterierte Abbildungen, Attraktoren und invariante Mannigfaltigkeiten ein. In einem zweiten, kurzen Abschnitt (30 S.) werden unter der etwas exotisch anmutenden Überschrift "Bifurkationen in Morse-Smale-Systemen" Eigenschaften typischer zweidimensionaler und damit nicht-chaotischer Systeme sowie deren höherdimensionale Verallgemeinerungen besprochen. Erst im letzten Teil (85 S.) "Chaotische dynamische Systeme" kommen explizit Chaos und damit verbundene Größen zur Sprache. Hier werden also Grundbegriffe wie Lyapunov-Exponenten, Bernoulli-Shifts, verallgemeinerte Entropien und diverse fraktale Dimensionen vorgestellt. Auch wichtige Theoreme, wie das von Poincaré-Birkhoff über die Konsequenzen von homoklinen Punkten oder neuere, wie die von Ya.B.Pesin oder L.S.Young über den Zusammenhang von KS-Entropie und Lyapunov-Exponenten sind hier zu finden. Der Schreibstil des Autors ist eher mathematisch geprägt. Das bedeutet unter anderem, daß die Ergebnisse meist als mathematische Sätze formuliert sind (über hundert an der Zahl). Auf Beweise wird aber grundsätzlich verzichtet. Stattdessen findet man häufig Erläuterungen oder Beispiele mit Figuren, manchmal bleibt aber auch ein Theorem, genannt sei der Poincarésche Wiederkehrsatz, praktisch unkommentiert stehen. Zitiert werden fast ausschließlich mathematische Arbeiten, wobei auch russische Autoren entsprechend gewürdigt werden. Bei letzteren, wie bei Oseledec mit seiner grundlegenden Arbeit über Lyapunov-Zahlen, wären Verweise auf die häufig existierenden Übersetzungen ins Engliche wünschenswert gewesen. Zusammenfassend kann das Buch für Leser empfohlen werden, die mathematische Genauigkeit schätzen und dabei auf Erläuterungen nicht verzichten wollen. Die Auswahl der Themen erfüllt den eingangs formulierten Anspruch durchaus. Physiker werden in dem Buch auch so manches interessante Theorem finden, das in ihren Kreisen weniger bekannt ist, allerdings werden sie die für sie wichtigen Aspekte von Hamiltonsystemen und symplektischen Abbildungen (KAM-Theorem, etc.) vermissen.

G.Radons, Kiel

in: Physikalische Blätter, Weinheim, Heft 1; 1998.



Das vorliegende Buch bietet eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dabei versucht der Autor einen Einblick in die drei Themenbereiche
  1. Dynamische Systeme
  2. Bifurkation in Morse-Smale-Systeme
  3. Chaotische dynamische Systeme
zu geben. Der Leser wird durch das Bereitstellen der zentralen Sätze in den jeweiligen Kapiteln mit den wichtigsten Resultaten vertraut gemacht. Ohne weit auszuholen, werden dem Leser grundsätzliche Kenntnisse über die oben genannten drei Gebiete vermittelt, die sonst üblicherweise nicht in Lehrbüchern über gewöhnliche Differentialgleichungen zu finden sind.

Um einen Eindruck über die Breite des abgehandelten Stoffes zu bekommen, folgt eine kurze inhaltliche Angabe der Themen. Innerhalb der dynamischen Systeme werden Ausführungen zu invarianten Mengen, Grenzmengen, Volumenänderung, zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen Systemen und Attraktoren, zur Äquivalenz dynamischer Systeme und Hyperbolizität periodischer Orbits, zu stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten, zur orbitalen Stabilität und Ljapunov-Stabilität von Bewegungen, Stabilität von Ruhelagen und zu periodischen Bewegungen, zur Existenz periodischer und fast periodischer Bewegungen und zur strukturellen Stabilität gemacht.

Im 2. Abschnitt (Bifurkationstheorie) werden Reduktionen auf Zentrumsmannigfaltigkeiten, Bifurkationen nahe einer Ruhelage, Bifurkationen ein- und zweiparametriger Differentialgleichungen und das Abspalten periodischer Orbits betrachtet.

Im 3. Themenbereich (Chaotische dynamische Systeme) wird der Leser mit Shifts, Hufeisen, transversalen homoklinen Punkten und invarianten Maßen, mit dem Ergodensatz von Birkhoff, mit Ljapunov-Exponenten, Entropie, Dimensionen und dem Übergang zum Chaos vertraut gemacht.

Angesichts der Fülle des Stoffes läßt sich eine derartige Abhandlung nur bewältigen, indem man weitestgehend auf Beweise verzichtet, jedoch durch vielfältige Beispiele und Abbildungen die Sätze motiviert und diskutiert. Dies ist dem Verfasser in ausgezeichneter Weise gelungen. Da er mitunter komplizierte Begriffsbildungen vermeidet (ein Großteil der Sätze lassen sich auch für differenzierbare Mannigfaltigkeiten formulieren), ist der Inhalt dieses Buches auch Studenten der Natur- und Technikwissenschaften zugänglich, da die Diskussion des öfteren aus Plausibilitätsbetrachtungen besteht. Die Anforderungen an die Leserschaft sind dennoch heterogen. An einigen Stellen wird vom Leser eine gewisse mathematische Reife erwartet, da manche Begriffe ohne vorherige Einführung verwendet werden.

Es versteht sich von selbst, daß ein solch knapp gehaltenes Buch über einen so breiten Gegenstand der dynamischen Systeme nicht auch noch numerische Verfahren beinhalten kann - was nach Ansicht des Rezensenten auch keinen Qualitätsverlust bedeutet. Eine schöne Aufgabensammlung versetzt den Leser in die Lage, Begriffe und Sätze gut zu vertiefen. Die angegebene Literatur eignet sich bestens zum weiteren Studium der behandelten Themenkreise. Alles in allem ein Buch, welches nach modernen fachlichen Prinzipien aufgebaut ist und dem eine schnelle Verbreitung auf dem Gebiet der dynamischen Systeme gewünscht werden kann.

B. Marx, Ilmenau

aus: ZAA Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, Leipzig, Band 16, Heft 2; 1997.