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Leonov, G. A., Reitmann, V.;
Attraktoreingrenzung für nichtlineare Systeme
(Border of attractors
for nonlinear systems) (German)
Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 97. Leipzig: BSB B. G. Teubner
Verlagsgesellschaft. 193 S. (1987).
Questions of growing interest in the analysis of nonlinear dynamical
systems in the chaotic regime are how can an attractor be characterized
and what is the structure of the border of its domain of attraction. For
example, is it a smooth or a fractal curve? These questions do not only
concern local properties of trajectories but also global ones and, hence,
are quite complicated. The authors present for many different classes of
nonlinear systems answers to the questions posed above. Among them global
stability results for the Lorenz-system and other important physical and
control systems are given. The methods used are the direct method of Lyapunov,
the Chaplygin method and the nonlinear reduction method. The presentation
is clear and especially for readers in the applied sciences easy to follow.
The book touches a great number of important problems and is certainly
a valuable extension of the existing literature.
H.Troger, Wien
Keywords: strange attractor; chaos; Lorenz equation; nonlinear
dynamical systems; domain of attraction; global stability; Lyapunov; Chaplygin
-
Classification:
-
*58F12
Structure of attractors
-
58-02
Research monographs (global analysis)
-
58F13
Pathologies of dynamical systems
aus: MATH Database, Zentralblatt für Mathematik / Mathematics
Abstracts:
Copyright
(c) 1997 European Mathematical Society, FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag
Dynamische Systeme mit chaotischem Lösungsverhalten werden
üblicherweise mit numerisch-experimentellen Methoden untersucht. Im
Gegensatz dazu versuchen die Autoren des vorliegenden Buches auf analytischem
Wege zu Aussagen über das Lösungsverhalten solcher Systeme zu
gelangen. Die Methoden, die dabei zum Einsatz kommen, umfassen die direkte
Methode von Ljapunow, die Tschaplygin-Methode und die nichtlokale Reduktionsmethode.
Ein beträchtlicher Teil des Buches ist dem Studium des
Lorenz-Systems gewidmet. Es werden Parameterbereiche angegeben, bei denen
die drei Ruhelagen einen globalen Attraktor bilden. Für die zum Koordinatenursprung
gehörende instabile Mannigfaltigkeit werden Bedingungen dafür
bestimmt, daß sie homokline Orbits bildet, bzw. dafür, daß
sie nicht in die stabile Mannigfaltigkeit des Ursprungs einmündet..
Für die komplexe Version des Lorenz-Systems wird die Existenz eines
beschränkten globalen Attraktors gezeigt und ein zugehöriges
Dissipativitätsgebiet konstruiert.. Auch der Fall des Vorliegens eines
Grenzzyklus oder eines Kontinuums von Ruhelagen wird beschrieben.
Ähnliche Untersuchungen werden durchgeführt an einem
System der MASER-Physik und zwei Rössler-Systemen.
Einen weiteren Schwerpunkt stellt eine Klasse von nichtlinearen
Differentialgleichungen beliebiger Dimension mit Halbordnungsstruktur dar.
Aus der Existenz von invarianten Kegeln werden Beschränktheits- und
Stabilitätsaussagen gewonnen, insbesondere für die sog. Phasensysteme,
d. h. Systeme im Zustand periodischer Nichtlinearität. Neben den Differentialgleichungen
werden auch Differenzengleichungen und, als Hilfsmittel, Differentialinklusionen
in die Untersuchungen mit einbezogen. Die Anwendbarkeit der Sätze
wird an Systemen der automatischen Steuerung demonstriert.
Der Stoff des Buches stammt weitgehend aus Originalarbeiten
der beiden Autoren, zum Teil aus anderer, fast ausschließlich in
Russisch verfaßter Literatur. Die Beweise sind nahezu alle vollständig
ausgeführt, zuweilen werden jedoch nicht allgemein bekannte Sachverhalte
aus der Originalliteratur zitiert, was sich für den an Details interessierten
Leser als störend erweisen kann. Ansonsten ist das Buch gut lesbar,
insbesondere die zahlreichen Erläuterungen erleichtern das Verstehen
der zuweilen doch recht technischen Materie.
B.Aulbach, Augsburg
aus: ZAMM Z. angew. Math. Mech. 69 (1989)
1, BOOK Reviews
Eine fundamentale Aufgabe der qualitativen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen besteht darin,
Aussagen über das Langzeitverhalten dynamischer Systeme abzuleiten. In diesem Zusammenhang besitzen Untersuchungen über
Attraktoren und deren Einzugsgebiete eine entscheidende Bedeutung. Seit ungefähr 15 Jahren hat eine neue Klasse von Attraktoren das Interesse
zahlreicher Physiker und Mathematiker auf sich gelenkt, die sogenannten "seltsamen Attraktoren". Die Darlegungen im vorliegenden Band haben nicht das
Ziel, das "Eigenartige" dieser Attraktoren zu untersuchen, also ihre besondere Struktur und ihre eigenartige Dynamik, den
Autoren geht es vielmehr darum, die zahlreichen numerischen Untersuchungen über seltsame Attraktoren bei bestimmten
dynamischen Systemen (zu ihnen gehören das Lorenz-System, Maser-Systeme und verschiedene Systeme von O. Rössler)
durch exakte analytische Betrachtungen zu ergänzen. Auf diese Weise wird erreicht, Gebiete im Phasenraum einzugrenzen, die
derartige Attraktoren enthalten. Abschätzungen ihrer Einzugsgebiete anzugeben, im Parameterraum Gebiete zu bestimmen, deren zugehörige
dynamische Systeme keine eigenartigen Attraktoren enthalten. In diesem Zusammenhang wird deutlich, daß sich die
Autoren auch mit der Frage der globalen Stabilität der üblichen "Punktattraktoren" befassen. Die Verfasser,
die als Schüler von V. A. Jakubovic (Leningrad) zu bezeichnen sind, der bekanntlich fundamentale Resultate über die
Stabilität von Systemen der automatischen Steuerung hergeleitet hat, führen die von ihnen betrachteten Systeme durch eine geeignete
Koordinatentransformation in ein System über, das als "Jakubovic-System" bezeichnet werden kann und konstruieren
zur Untersuchung der Stabilität dieses Systems eine geeignete Ljapunov-Funktion bzw. wenden die Theorie der
Differentialungleichungen an (hier als Tschaplygin-Methode bezeichnet).
Beim Auftreten turbulenter bzw. präturbulenter Verhaltensweisen
in dynamischen Systemen spielen die homoklinen Bifurkationen (im Buch als Separatrix-Schlingen-Bifurkation bezeichnet)
eine wichtige Rolle. Durch Konstruktion von Poincaré-Schnitten im Phasenraum ("Flächen ohne Kontakte") werden speziell für
das Lorenz-System Resultate über die Nichtexistenz bzw. Einschließungsaussagen über derartige Bifurkationspunkte abgeleitet.
Neben der Untersuchung konkreter dynamischer Systeme enthält die Monografie auch Betrachtungen über allgemeine
nichtautonome Differentialgleichungssysteme dx/dt = f(t,x), die in x periodisch sind (solche Systeme werden als Phasensysteme bezeichnet).
Unter der Voraussetzung, daß für derartige Systeme
invariante Kegel existieren, werden Stabilitätsaussagen in Form von Frequenzkriterien formuliert, die auch auf diskrete Systeme übertragen
werden können.
Ein weiterer Abschnitt des Buches ist der Stabilisierung nichtlinearer Systeme durch Fremderregung
gewidmet.
Ein umfangreiches Literaturverzeichnis vorwiegend sowjetischer Autoren schließt den Band ab.
Zusammenfassend soll bemerkt werden, daß die Monografie wertvolle Beiträge zur qualitativen Untersuchung
konkreter und allgemeiner dynamischer Systeme enthält.
K. R. Schneider, Berlin
aus: ZAA Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen,
Leipzig, Band 7, Heft 6; 1988, 8.
S. 503 - 510 |
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